LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica formal que utiliza exclusivamente
proposiciones (afirmaciones acerca de la realidad que pueden ser verdaderas o
falsas). Su función es establecer el valor de verdad de las proposiciones en
función de las relaciones lógicas que se establecen entre ellas.
1) ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
a)
Hay dos tipos de proposiciones:
-Atómicas: Las que tienen un
único significado, solo nos remiten a una idea→hoy hace calor.
-Moleculares: Tienen al menos dos
significados → Hoy hace calor y me voy a la playa.
Las
proposiciones se simbolizan a partir de
la letra p. La primera proposición en aparecer siempre será p, la siguiente
q, y así sucesivamente siguiendo el alfabeto.
b)
Utilizaremos varios juntores. Un juntor es un símbolo que une varias
proposiciones:
¬ =No
→ = Si…, entonces…
↔ = Si y solo si…, entonces…
V = O
Λ = Y
V = O,…o…
|---= Luego...
Estos juntores unen proposiciones atómicas (salvo la negación),
transformándolas en proposiciones moleculares. Por ejemplo:
Si tengo hambre, entonces me voy al restaurante. p → q
Estudio economía y matemáticas. p Λ q
2) REGLAS DEL LENGUAJE
PROPOSICIONAL
- Todos los juntores
excepto la negación sólo pueden unir dos proposiciones atómicas o moleculares.
En el caso de unir moleculares se utilizarán paréntesis y corchetes:
p ↔
q p → (q Λ
r)
- La negación solo sirve para calificar
proposiciones atómicas o moleculares, nunca para unirlas.
¬ p ¬ (p↔ r)
p ¬ ( q ¬ r )
3) VALORES DE VERDAD
Toda proposición puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en
el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de
verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una
oración vamos a utilizar la siguiente convención:
‘1’ significará que
la proposición es verdadera y ‘0’ que la
proposición es falsa
De modo que una proposición ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso
lo expresamos de la siguiente manera:
p
|
1
0
|
Si en lugar de una proposición tomamos
dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la
siguiente tabla:
p q
|
1 1
1 0
0 1
0 0
|
p q r
|
1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
0 0 0
|
Si tuviésemos tres proposiciones
p, q, y r:
4 )VALORES DE VERDAD DE LOS JUNTORES
a) El Negador (¬)
Dado una
proposición p, podemos formar su negación superponiendo en el parte superior
izquierda de la variable el signo de la negación: ¬p que se leerá ‘no p’. Su
tabla de verdad es:
p
|
¬p
|
1
|
0
|
0
|
1
|
b) El conjuntor (Λ)
La unión de dos letras
enunciativas mediante le símbolo de la conjunción permite construir enunciados
moleculares (enunciados cuyos componentes son enunciados). Si tenemos dos proposiciones
‘p’ y ‘q’ podemos formar la proposición ‘p ^ q’. Para construir la tabla
de verdad de una conjunción hay que tener en cuenta que la conjunción es
verdadera sólo cuando son verdaderas las variables que la componen.
p
|
q
|
p Λ q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
La forma lógica de un enunciado como ‘voy
a casa y veré la película’ será:
p Λ q
Donde ‘p’ es la letra
enunciativa de la oración “voy a casa” y ‘q’ es la letra enunciativa que se
corresponde con la oración “veré la película”.
c) El disyuntor
inclusivo(V) .
El símbolo lógico de la
disyunción inclusiva es « V » y se puede traducir, aunque de una forma parcial
e incompleta, con la partícula del lenguaje natural «o». También se le denomina
como el símbolo de la suma lógica.
Podemos entonces
construir una disyunción a partir de dos variables enunciativas de la siguiente
forma: p V q
Con respecto a su valor
de verdad, una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones
(variables enunciativas) lo es, y también, por supuesto, cuando ambas lo son.
Veamos la tabla de
verdad de la oración “hay dinero en el cajón o encima de la mesa”
p
|
q
|
pVq
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
d) El disyuntor exclusivo (V).
El símbolo lógico de la
disyunción es « V » y se puede traducir, aunque de una forma parcial
e incompleta, con la expresión del lenguaje natural «o...,o...»
Este juntor es
verdadero cuando solamente es verdadera una y solo una de las proposiciones que
une.
Ejemplo: El
pantalón está o encima de la cama, o en
el armario.
Su tabla de verdad
sería la siguiente:
p
|
q
|
pVq
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
e) El implicador o condicional (→).
El símbolo «→» es la formalización
de la partícula del lenguaje ordinario «si…, entonces…» La expresión que se
sitúa a la izquierda del símbolo lógico se le denomina antecedente y a
la expresión que queda a la derecha consecuente. Una implicación será
verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el
consecuente falso; y falsa cuando sea ese el caso. Dicho de otra forma:
sólo hay un caso en el que una implicación será falsa, y es cuando siendo su
antecedente verdadero, el consecuente es falso.
Ejemplo: Si estudias,
entonces aprobarás.
Veamos su tabla de verdad
p
|
q
|
p→q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
g) El coimplicador o bicondicional (↔) .
El signo lógico
que se corresponde con el bicondicional es «↔». Mediante este signo, que se
correspondería con la expresión “si y sólo si”, lo que queremos decir es que el
antecedente es una condición suficiente y necesaria para que se
dé el consecuente. Pero si el antecedente es una condición necesaria y
suficiente para que se dé el consecuente, entonces, si el consecuente se ha
dado, también podemos inferir el consecuente.
Con respecto a su valor
de verdad, un bicondicional es verdadero siempre que a) cuando son verdaderos
tanto el antecedente como el consecuente; o b) cuando ambos son falsos.
p
|
q
|
p↔q
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Veamos la tabla de
verdad de todos los signos lógicos
p q
|
¬p
|
p Λ q
|
pVq
|
pVq
|
p→q
|
p↔q
|
|
1 1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1 0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
0 1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|
0 0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario